Ο Πύρρος Δήμας, έχει αναδειχθεί τρεις φορές χρυσός Ολυμπιονίκης, στην Βαρκελώνη το 1992 στην κατηγορία των 82,5 κιλών, στην Ατλάντα το 1996 στην κατηγορία των 83 κιλών και στο Σίδνεϊ το 2000 στην κατηγορία των 85 κιλών, ενώ στους Ολυμπιακούς Αγώνες της Αθήνας το 2004 κατέκτησε το χάλκινο μετάλλιο. Στην κατοχή του έχει ακόμη τρεις παγκόσμιους τίτλους (1993, 1995 και 1998).
Έχει μείνει στην ιστορία με δύο παγκόσμια ρεκόρ καθώς τα έχει πετύχει στη κατηγορία των 83 κιλών, η οποία δεν υπάρχει πια, στους Ολυμπιακούς Αγώνες της Ατλάντα.Σήκωσε τότε 180 κιλά στο αρασέ και 392,5 κιλά στο σύνολο.
Είναι κάτοχος του παγκοσμίου ρεκόρ στην κίνηση του αρασέ στην κατηγορία των 85 κιλών, με 180 κιλά επίδοση την οποία πέτυχε το 1999 στο Παγκόσμιο πρωτάθλημα της Αθήνας, ενώ οι ατομικές του επιδόσεις στο ζετέ είναι 210 κιλά (1998) και στο σύνολο 387,5 κιλά (1998 και 1999).
Το 1992 κατέκτησε την τρίτη θέση στο πανευρωπαϊκό πρωτάθλημα και πήρε το εισιτήριο για την συμμετοχή του στους Ολυμπιακούς Αγώνες της Βαρκελώνης.
Το 1993, στο Ευρωπαϊκό Πρωτάθλημα πήρε την τρίτη θέση στα 83 κιλά και τον ίδιο χρόνο, στο Παγκόσμιο Πρωτάθλημα στην Μελβούρνη κέρδισε την πρώτη θέση στην ίδια κατηγορία.
Στο Ευρωπαϊκό Πρωτάθλημα άρσης βαρών στην Βαρσοβία, τον Μάιο του 1995, κατέκτησε τρία χρυσά μετάλλια στα 83 κιλά, επιτυγχάνοντας ταυτόχρονα τρία παγκόσμια ρεκόρ, στο αρασέ, το ζετέ και το σύνολο, ενώ το 1998 στη Φινλανδία κατετάγη δεύτερος με επίδοση 377,5 κιλά στο σύνολο.Συνολικά κατά τη διάρκεια της καριέρας του σημείωσε 11 παγκόσμια ρεκόρ.
Στους Ολυμπιακούς αγώνες της Ατλάντα και της Αθήνας ήταν ο σημαιοφόρος της ελληνικής ολυμπιακής αποστολής.
Για τις διακρίσεις του έχει αναδειχθεί πέντε φορές καλύτερος αθλητής στο ετήσιο δημοψήφισμα των αθλητικών συντακτών Ελλάδας, τις χρονιές 1992, 1993, 1995, 1996 και 2000.Το Μάρτιο του 2005, στην Κωνσταντινούπολη, βραβεύτηκε από την Παγκόσμια Ομοσπονδία Άρσης βαρών ως ο καλύτερος αθλητής του αιώνα.
Τον Μάιο του 2012 μαζί με τον Κινέζο Ολυμπιονίκη της γυμναστικής Λι Νιγκ άναψαν τον βωμό στο Παναθηναϊκό στάδιο κατά την διάρκεια της τελετής παράδοσης της ολυμπιακής φλόγας στη διοργανώτρια πόλη του Λονδίνου.
Για την προσφορά του στον ελληνικό αθλητισμό έχει τιμηθεί με τον Χρυσό Σταυρό του Τάγματος της Τιμής της Ελληνικής Δημοκρατίας.
Ο Πύρρος, είναι ο μοναδικός έως σήμερα Έλληνας αρσιβαρίστας με τρία χρυσά ολυμπιακά μετάλλια κι ένα χάλκινο, ισοφαρίζοντας τον Ναΐμ Σουλεϊμάνογλου στα χρυσά μετάλλια στους Ολυμπιακούς του Σίδνεϊ το 2000.
